18.丢番图倒数

在如下方程中, $x 、 y 、 n$ 均为正整数: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n}\)

对于 $n=4$, 上述方程恰好有 3 个不同的解: \(\begin{aligned} & \frac{1}{5}+\frac{1}{20}=\frac{1}{4} \\ & \frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\frac{1}{4} \\ & \frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{4} \end{aligned}\)

使得不同的解的数目超过 1000 的最小n值是多少?

Answer: 180180