17.长方体路径

蜘蛛 $\mathrm{S}$ 位于一个大小为 $6 \times 5 \times 3$ 的长方体房间的一角, 而苍蝇 $F$ 则恰好位于其对角。沿着房间的墙面, 从S到F的最短”直线”距离是 10.

对于任意长方体房间, 对角顶点间的“最短”路径总是有三种可能的方案; 此外, 最短路径的长度也并不一定为整数。

当 $M=100$ 时, 在所有长、宽、高均不超过 $M$ 且为整数的长方体中(默认长>=宽>=高), 对角顶点之间的最短距离是整数的恰好有 2060 个。 $M=100$ 也是使得满足条件的长方体数目超过两千的最小值:当 $M=99$ 时，该数目为 1975 。

求使得满足条件的长方体数目超过一百万的最小 $M$ 值。

Answer : 1818